[01478297]非线性椭圆型与抛物型偏微分方程若干问题的研究

主要成果可归结为下面几个方面：1）对Euler-Poisson方程和Emden-Fowler方程进行了系统的研究。得到了一系列关于Euler-Poisson方程平衡解的存在性与非存在性、平衡解的稳定性与非稳定性的结果。从一定的角度回答了天体物理学家和数学家所关心的一个猜想。另外，对很一般的Emden-Fowler型方程，在不同的条件下得到了其正解的分离性和振动性以及所对应的抛物问题的正平衡解的稳定性与非稳定性。部分结果回答了Z.Q.Chen等人提出的公开问题。2）利用“约化”方法，构造性地给出了一类Ambrosetti-Prodi型方程解的个数与参数间的关系，并首次对解的渐近形态给出了准确的刻画，不仅完全解决而且推广了Lazer-McKenna猜想。我们所使用的方法，被法国数学家Druet继续使用，将Lazer-McKenna猜想推广到低维情形。3）在区域的某些几何条件或位势函数的某些特征假设下，证明了当参数发生某种变化时，一类奇异扰动问题存在任意给定数量的解，它们集中在某些高维流形上，这些流形与区域的几何形状或位势函数有着密切联系。这一结果在某些条件下肯定地回答了美国著名数学家倪维明教授1998年提出的一个猜想。4）对具有临界频率的Schr dinge方程的半经典态的存在性，对一类与平面上“涡流对”有关的自由边值椭圆问题，对含临界指标的双调和问题、多重调和问题、Hardy方程的多解和分支现象以及临界维等人们关心的问题进行了系统的研究。　　2000年以来，项目组成员共发表与该项目有关的研究论文70篇，论文全部被SCI收录。